当然事实上，太阳和地球是绕着质心旋转的，相应地，等号右侧分子上的质量应该是太阳与地球的总质量。不过太阳的质量远大于地球质量，所以上面的式子是近似成立的。

另一方面，考察日地连线中距离地球的一点，***设它能在太阳和地球的引力作用下与日地系统一起公转，则

联立上面两式，并对等号右边的式子做关于的一阶泰勒展开

由此解得

(张朝阳计算希尔球的半径)

计算去火星的转移轨道

在正式计算前，张朝阳先约定了火箭的五个关键速度：

：火箭在出发前，在近地轨道绕地球公转的速度

：火箭在近地轨道上点火加速后进入逃逸阶段的速度

：火箭逃逸地球引力进入转移阶段时相对地球的速度

：火箭逃逸地球引力进入转移阶段时相对太阳的速度

：火箭结束转移阶段时相对太阳的速度

先来考虑更基础的速度——地球绕太阳公转的速度，由圆周运动方程

得到

另一方面，如果想在地球的公转轨道上出发脱离太阳系，就需要让动能超过引力势能

也就是说，如果要飞往太阳系内的其他行星，需要让火箭相对于太阳的速度介于29.8km/s和42.2km/s之间；而如果要飞出太阳系外，就需要超过42.2km/s。飞往火星正是前一种情形。

接下来确认从地球飞往火星的椭圆轨道参数，考虑圆锥曲线在极坐标下的参数方程

其中近日点为日地距离，远日点为日火距离。由此可解出参数

另一方面，参数B来自于对运动方程做比奈变换后得到的常数

其中是比角动量的大小，等于轨道上的速度叉乘位矢所得到的矢量大小，联立上面两个式子，能得到

由此可得火箭在进入转移阶段时相对太阳的速度

对应的，火箭相对地球的速度为

该转移轨道的半长轴，利用开普勒第三定律

可以算出该轨道的周期

考虑到转移过程只需要走半个椭圆，所以实际转移耗时大约为八个半月。

计算脱离地球的逃逸轨道

（张朝阳讲解从近地轨道变到逃逸轨道）

最后，张朝阳计算了火箭从近地轨道加速进入转移轨道的双曲线轨道。双曲线也是一种圆锥曲线，其参数方程和上面的椭圆轨道具有相同的形式。***设近地轨道高度，地球半径，近地轨道的圆周运动速度为

火箭先在近地轨道点火加速，在几分钟内变成，然后远离地球后，其相对地球的渐近速度为，由机械能守恒有

可见该阶段加速所需要的速度增量为

有了，还可以进一步地得到双曲线轨道上的比角动量，进而算出双曲线的参数

再根据双曲线的近地点位于近地轨道这一条件

可以解出

由此可以算出双曲线的渐近线所对应的极角

从而算出从整个逃逸过程速度方向的偏转角为

（逃逸轨道的详细示意图）

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周日中午12时在搜狐***直播，网友可以在搜狐***APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整***回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短***；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐，查看更多